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这绝对是你一生中将要学习的最重要的方程之一。左边表示流形的曲率，右边表示其中物质的分布。它被称为爱因斯坦方程或爱因斯坦场方程，因为它不止一个方程。

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这个流形通常被描述为我们周围的时空。流形就是一种看起来像平坦的“表面”，但实际上可能是弯曲的。它的关键特点是：局部看像平面，但整体可能是弯的。例如，地球表面是一个弯曲的二维流形，但当你站在上面时，它感觉是平坦的。在我们文章的语境中，时空是一个四维流形，描述了一切发生的舞台。从数学的角度来看，相对论仅仅是微分几何、张量计算、拓扑学、代数几何、李群和李代数、泛函分析以及偏微分方程的结合。但我们将在这里关注这个非线性偏微分方程的一个特定解，即施瓦西解。

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这个偏微分方程的一个解是一个度规张量，它定义了流形或时空的几何。一个偏微分方程可以非常简单地看作一个自动售货机：你输入一些东西（通常是钱），它输出一些东西（通常是你想要的汽水罐）。就像我们感兴趣的这个偏微分方程一样，输入是它的一个正确数学解，输出可能是对应流形中的几何结果。在广义相对论的具体案例中，这个流形是四维的，其中三维代表空间，一维代表时间。所以，爱因斯坦方程的每一个输入或解都会给出一个不同的时空几何。施瓦西解只是这些可能输入中的一个，也是第一个被发现的。我们不会证明这个度规实际上是爱因斯坦场方程的解，因为计算非常非常冗长，但我们将分析和解释每一项。不过在这之前，让我们先看一下施瓦西用于找到这个特定解的假设。第一个是假设：球对称性。流形被假定在旋转群 SO(3)下是不变的。SO(3)是三维空间中所有可能旋转的集合。

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想象围绕任意轴旋转一个球，SO(3) 描述了你可以做到而不改变球的大小或形状的所有方式。这意味着度规在任何对应于三维旋转的变换下都不变，度规系数只能依赖于径向坐标 r，

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换句话说，距离中心的距离，除了角度部分，它包括了球坐标系统中由 sin⁡θ^2引起的依赖。第二个假设是没有旋转。要讨论这个，我们需要首先定义角动量。角动量是物体的自旋动量，一个旋转的陀螺或行星具有角动量。这是物体保持旋转的方式，除非有东西阻止它。在这个度规中，角动量为零，这可以通过矩阵中所有非对角线上的项为零来体现。如果情况不是这样，就会有一种被称为坐标系拖拽的现象，

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这在著名的克尔解（Kerr Solution）中是存在的。第三个假设是径向对称性。这是球对称性的结果，意味着度规的径向部分只依赖于r的大小，而不是方向。第四个假设是真空。这可能听起来有些奇怪，因为真空是没有物质参与的情况。流形的球形几何形状是由它中心的天体（比如恒星或行星）的球形特性直接决定的。也就是说，流形的外部弯曲（比如时空的弯曲）是因为中心天体本身是球形的，流形的几何特性反映了中心天体的对称性和形状。简单来说，中心天体的形状“塑造”了周围流形的几何结构。

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因此，重要的是要注意，这个度规解仅描述了物体外部的曲率，而不是内部的曲率。从数学上来说，能量动量张量 T_μν在每一点上都为零，这种情况极大地简化了爱因斯坦场方程。在微分几何中，我们说时空是“Ricci 平坦”的。

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最后一个假设是没有电荷。结果是度量 g_μν 纯粹是引力的，没有电磁场张量 F_μν。让我们再次看看施瓦西解的完整版本。

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理解在微分几何中，度规分量决定了距离、角度和因果结构非常重要。当度规张量 g_μν只有对角线项（如施瓦西解）时，它意味着某些对称性和数学、物理上的简化。具有非零非对角线项的情况反映了更复杂的现象，比如旋转的静态时空或附加场的存在（如电磁场）。施瓦西解作为一个对角线度量表明坐标基向量彼此正交。满足爱因斯坦场方程并且是对角线的另一种度规是用于宇宙学的佛里德曼-罗伯逊-沃尔克度规，它假设宇宙是均匀且各向同性的。如果有非零非对角线项，坐标基向量将不再彼此正交。例如，克尔解具有一个非零项，这引入了时间和角动量分量之间的耦合。这种度量描述了一个旋转的黑洞。

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克尔解的非零项当时，施瓦西解的发现非常令人惊讶，因为爱因斯坦场方程是一组高度复杂的非线性偏微分方程。为了说明这些方程的复杂性，可以注意到试图仅用度规张量 g_μν表达它的“套娃效应”。

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在爱因斯坦发布方程最终形式后仅几个月，卡尔·施瓦西就发现了一个精确解。这个解在半径 2GM/c^2处揭示了一个奇点，这后来被称为施瓦西半径。

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奇点是某种完全失效的点，就像数学中的除以零。在时空中，奇点是引力如此强大的地方以至于常规物理规则失效。当时，这种奇点的意义尚未被理解。今天，我们称其为黑洞。 本站仅提供存储服务，所有内容均由用户发布，如发现有害或侵权内容，请点击举报。